初等数学

既然数学那么重要，数学差的人如何重学数学呢？答案是重学初等数学。

0x01 引例：多项式的次数

请问： $πa b^{2} - c d$ 这个多项式的次数是多少？

这个七年级上册的数学题几乎决定了做题人的未来。当你写下答案的时候，命运的齿轮就开始转动了；当你再次面对这个数学题的时候，命运的齿轮是否还有拨乱反正的机会呢？如果现在的你可以像七年级的尖子生一样信誓旦旦地、有理有据地写下正确的答案，那么你不需要重学初等数学。如果不能，我建议你读一遍“国家中小学智慧教育平台/教材/初中/数学/人教版/七年级上册/Page 54-Page 58”。如果经过了短暂的复习，现在的你可以像七年级的尖子生一样信誓旦旦地、有理有据地写下正确的答案，那么你也不需要重学初等数学。如果不能，我建议你仿照以下思路重学初等数学。

1. 果 → 因

这个数学题考的是“什么是多项式的次数”。翻到Page 58：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
基于多项式的次数的定义，我们可以将原问题退化为“什么是多项式？什么是次数？”翻到Page 58：像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项。继续翻到Page 56：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
基于多项式的定义，我们可以将原问题退化为“什么是单项式？”翻到Page 56：这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
基于多项式和单项式的定义，我们可以将多项式 $πa b^{2} - c d$ 拆分为单项式 $πa b^{2}$ 与单项式 $- c d$ 的和。
基于单项式的次数的定义，我们知道单项式 $πa b^{2}$ 的次数是 $3$ 、单项式 $- c d$ 的次数是 $2$ 。
综合上述步骤，代入多项式的次数的定义：多项式 $πa b^{2} - c d$ 里，次数最高项 $πa b^{2}$ 的次数是 $3$ ，所以多项式的次数是 $3$ 。

有必要这么复杂吗？有必要更复杂。

这个数学题考的是“什么是多项式的次数”。翻到Page 58：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
基于多项式的次数的定义，我们可以将原问题退化为“什么是多项式？什么是次数？”翻到Page 58：像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项。继续翻到Page 56：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
PS 1：一个72分（满分120分）的七年级学生能不能把“次数最高项”翻译为“次数最高的单项式”？注意哦，假如你忽略了“每个单项式叫做多项式的项”，你默认次数最高项的“项”指的是单项式是没有依据的。
基于多项式的定义，我们可以将原问题退化为“什么是单项式？”翻到Page 56：这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
基于多项式和单项式的定义，我们可以将多项式 $πa b^{2} - c d$ 拆分为单项式 $πa b^{2}$ 与单项式 $- c d$ 的和。
PS 2：一个72分（满分120分）的七年级学生能不能正确地拆分多项式 $πa b^{2} - c d$ ？如果不注意“几个单项式的和叫做多项式”，很容易拆分为单项式 $πa b^{2}$ 和单项式 $c d$ 。虽然这不影响本题的答案，但影响“ $πa b^{2} - c d$ 这个多项式的项的系数分别是？”的答案。
基于单项式的次数的定义，我们知道单项式 $πa b^{2}$ 的次数是 $3$ 、单项式 $- c d$ 的次数是 $2$ 。
PS 3：一个72分（满分120分）的七年级学生可能把 $π$ 当成是字母哦！可能把 $a$ 的指数当成 $0$ ，而不是 $1$ 哦！如果我把 $πa b^{2} - c d$ 改成 $a \cdot π^{2} \cdot b^{2} - c \cdot d$ ，又可以骗倒一大片学生。
综合上述步骤，代入多项式的次数的定义：多项式 $πa b^{2} - c d$ 里，次数最高项 $πa b^{2}$ 的次数是 $3$ ，所以多项式的次数是 $3$ 。

2. 因 → 果

欸，我看书是顺着的，但做题怎么是反着的？尖子生的数学是顺着的：

和、差、积、商、字母（其实是代表未知数的代数）、数字（包括了有理数与无理数，而无理数包括了 $π$ ）。
单项式、系数、次数。
多项式、系数、次数。
等式、不等式、方程。
集合、映射、函数。
微分、积分、偏微分。

ta们每一步都学得非常好，既不会搞错 $π$ 是不是字母，也不会搞错系数和指数需不需要加隐含的 $- 1$ 和 $1$ 。你呢？可能考有手就行的微积分都得求爷爷告奶奶别挂科，最后还要发一条说说：“寄！不定积分忘记加C了！”

3. 多项式的次数不重要

这个问题比算不定积分更没有意义啊！不被赋予现实意义的数学题几乎都没有意义，但从实例中抽象的能力可以给任何人事物赋予意义。本小节依托于“ $πa b^{2} - c d$ 这个多项式的次数是多少”，对它稍加抽象，并赋予意义。

A. 抽象

此实例的抽象可以分为三个层面：

形式化和因果链：详见下一节。
分类讨论：从第一节第二小节“0x01 引例：多项式的次数/因 → 果”的角度来看，有些人是从小学的和差积商开始走下坡路、有些人从初中的方程开始走下坡路、有些人从高中的函数开始走下坡路、有些人从本科的微积分开始走下坡路。在此抽象之下，我完全可以将“多项式的次数”换为“如何解二元一次方程方程组”，换为“如何求矩阵 $A$ 的逆矩阵”。或者反过来说，在我的眼中，多项式的次数是为了体现做题人从何时何地开始分岔而举了一个从初中整式开始分岔的例子。但是，在你的眼中，我莫名其妙地问了一个初等数学的数学题。我为什么选它，不选“乘法分配律”和“求矩阵的逆”呢？因为这个引例最有可能让你意识到分岔的存在，而又不必过于冗长：乘法分配律，即使当年一知半解，以你现在的心智看小学课本肯定难不倒你；求矩阵的逆，为了分析解题过程，我得写得特别长。关于“多项式的次数”，你看到了我的冰山一角，而我需要拥有整座冰山。数学和哲学相当于学武之人的内力，飞花摘叶，皆可杀人，而工科、经济学、心理学只是各种不同的剑招、拳法和腿法。多项式的次数不重要，让你意识到自己从何时何地开始学差（岔）了并拨乱反正很重要；实例（题目）不重要，抽象（出题）很重要。
建立数学模型：我可以把“果 → 因”与“因 → 果”写得非常符号化，尤其在因为、所以、对于任意的、存在都变成符号的情况下，但因为上一篇文章已经演示过了，所以本文不再演示。

等到拥有抽象的能力，你也无须再整理自己的收藏夹和笔记了。因为具体的知识点不重要，知识点映射到认知体系并丰富认知体系很重要。

B. 意义

拨乱反正：很多人没有意识到数学差的问题所在。你本科数学差，是因为你高中数学差，而不是因为天赋低；你高中数学差，是因为你初中数学差，而不是因为天赋低；你初中数学差，是因为你小学数学差，而不是因为你天赋低。当然，如果你说因为你自己笨，我无法反驳，因为数学差的人就是笨。但是，笨不是一种无法改变的状态。所以，只要从做错了第一个“多项式的次数”的地方拨乱反正，你的命运也改写了。即，命运的齿轮转动了两次：一次是错误的源头；另一次是纠错的源头。
元认知能力：一种更接地气的说法应该是“学习如何学习的能力”。从小到大，没有人教你“形式化、因果链、数学思想、抽象”这些以上帝视角统御数学本身的能力。如果你不会使用，那它们的现实意义也不为你所知。但是，这些能力可以通过学数学悄无声息地得到训练。考150分不重要，考150分的能力很重要；读清华大学不重要，可以读清华大学很重要；做成事情A不重要，可以做成任何一件复杂度不低但具有现实可能性的事情很重要。

0x02 数学

对于平凡之路，数学的重要性在于形式化和因果链。所谓形式化，指的是不同于自然语言的数学语言。它可以绝对准确地抽象或定义；所谓因果链，指的是绝对准确地推理。只要你的数学水平足以读懂本章，“听过很多道理，依然过不好这一生”就不可能对你造成困扰，因为尘世的幸福已经唾手可得。

1. 教材语言

举个例子：

截图来自于国家中小学智慧教育平台：教材/高中/数学/北师大版/必修·第一册/Page 107。

该截图包括的定义：正数、 $\neq =$ 、指数函数、 $=$ 、定义域、 $R$ 、值域、开区间、 $+ \infty$ 、单调函数、实数、函数、对数函数、自变量、函数值、底数、定点、常用对数函数、无理数、自然常数 $e$ 、自然对数函数。
该截图包括的推理（注意黑体字）：
- 我们知道，给定正数 $a$ ，且 $a \neq = 1$ ，指数函数 $y = a^{x}$ 是定义在 $R$ 上、值域为 $(0, + \infty)$ 的单调函数。
- 给定正数 $a$ ，且 $a \neq = 1$ ，指数函数 $y = a^{x}$ 是定义在 $R$ 上、值域为 $(0, + \infty)$ 的单调函数，所以对于每一个正数 $y$ ，都存在唯一确定的实数 $x$ ，使得 $y = a^{x}$ 。
- 由函数的定义， $x$ 就是 $y$ 的函数。
- 习惯上，将自变量写成 $x$ ，函数值写成 $y$ ，因此，一般将对数函数写成 $y = l o g_{a} x$ $(a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 。
- 由定义可知，对数函数具有以下基本性质：对数函数的定义域是 $(0, + \infty)$ ；对数函数过定点 $(1, 0)$ 。

2. 自然语言

如果你明白上述定义为什么是定义、上述推理为什么是推理，可以跳过本小节。

给定一颗苹果，苹果的当前价格是九磅十五便士，并随着时间的推移上涨。所以，每个不同的价格必然对应不同的买入时间。不难发现：苹果的当前价格最低；只要活得足够久，苹果将变得非常非常贵。

定义：苹果、价格、磅、便士、时间、活着、贵。
推理（注意黑体字）：
- 所以，每个不同的价格必然对应不同的买入时间。
- 不难发现：苹果的当前价格最低；只要活得足够久，苹果将变得非常非常贵。
- 只要活得足够久，苹果将变得非常非常贵（这是一个错误的推理。单调递增有上界的函数不满足“非常非常贵”，反例： $y = 1 - (\frac{1}{2})^{x}$ ）。

3. 数学语言

翻译自本节第1小节的教材语言（有删减）：

$p : \forall a \in (0, 1) \cup (1, + \infty), (y_{1} - y_{2}) (x_{1} - x_{2}) = (a^{x_{1}} - a^{x_{2}}) (x_{1} - x_{2}) \geq 0. q : \forall y > 0, \exists x \in R, y = a^{x} . q^{'} : y = l o g_{a} x, a \in (0, 1) \cup (1, + \infty) . r_{1} : y \in (0, + \infty) . r_{2} : y (1) = 0. p \Rightarrow q \Leftrightarrow q^{'} \Rightarrow r_{1} \lor r_{2}$

4. 数学的定义

Mathematics is an area of knowledge that includes the topics of numbers, formulas and related structures, shapes and the spaces in which they are contained, and quantities and their changes. These topics are represented in modern mathematics with the major subdisciplines of number theory, algebra, geometry, and analysis, respectively. There is no general consensus among mathematicians about a common definition for their academic discipline.

——Wikipedia/Mathematics, accessed: 2023-04-02.

数学在本文中是一个简单粗暴的定义：

数学是一门在定义上推理，进而得到真命题的学科。

$p_{0} \Rightarrow p_{1} \Rightarrow p_{2} \Rightarrow \dots \Rightarrow p_{n}$

$p$ ：命题，有且仅有真命题和假命题。一个命题由若干定义组成。
$\Rightarrow$ ：推理，根据“前因”和“后果”的样本空间是否相等，可以分为 $\Rightarrow \lor \neq \Leftarrow$ 和 $\Leftrightarrow$ 。

举一个自然语言的例子：熊猫喜欢吃西瓜。

这个陈述句存在的前提：你知道什么是“熊猫”、“喜欢”、“吃”和“西瓜”。可能你觉得，俺虽然不太聪明，但连熊猫和西瓜是什么都不知道嘛？更别说吃了，俺最懂吃了！

行，这几个在你看来“不言自明”的词汇就是定义；在所有人眼里，“熊猫喜欢吃西瓜”是错的，也就是假命题。既然“熊猫喜欢吃西瓜”在所有人眼里是错的，那么在所有人眼里，“熊猫不喜欢吃西瓜”就是对的咯？这种“理所当然”的陈述句就是公理（ $p_{0}$ ）。

你可以简单粗暴地记住两句话：

若干定义凑成了一个命题，命题要么是对的，要么是错的。
人们将公认的一些真命题叫做公理。在公理的基础上，我们可以有理有据地向下推导，得到一系列正确的推论。

假如将自然语言形式化，所谓的“道理”根本走不过第一回合：逻辑的基本规律。粗通数学正是为了支持足够合理的形式化、足够正确以及足够长的因果链。

0x03 误区

平庸的人之所以“过不好这一生”，是因为ta们宁可相信自然语言的屁话，也不重新学习初等数学。

对于小镇错题本而言，数学无疑是噩梦，但“数学特别难”完全是刻板印象。也许研究生的高等数学 Pro比较难，但小初高的初等数学以及本科的高等数学，存在可依赖的学习路径。

1. 数学的“连续性”

基于第一节，再下一个简单粗暴的定义：

数学的“连续性”：初中的定义基于小学；高中的定义基于初中；高等数学的定义基于初等数学。

先定义“加”，才能定义“减”；先定义“乘”，才能定义“除”，以及后续的“乘方”和“开方”。所以，小学学了10个定义、中学学了100个定义、高中学了200个定义，每个定义都或多或少地牵扯了先前的定义。这对应什么后果呢？小镇错题本们一旦掉队，就再也跟不上了。比如，要是不理解“方程”，你肯定也无法理解“函数”。后续，你们将看着“显然、易知、证毕”一脸懵逼。此时，不聪明的你们面临两种选择：补课和摆烂。

2. 做题人的教育资源

小镇做题人几乎没有任何“补课”的教育资源，只有一堆治标不治本的辅导班可供挑选。基于此，错题本们包括但不限于：

京沪错题本 1：哎呀，孩子的数学落下了。找十个本科清北的小镇做题家补补课吧。哪个教学效果好雇哪个。没过一个月，孩子的数学起死回生了。
京沪错题本 2：哎呀，孩子的数学落下了。找十个本科清北的小镇做题家补补课吧。哪个教学效果好雇哪个。没过一个月，孩子依然学不好。算了，自费出国镀层金。在海归之后给他十个亿的启动资金开公司；实在不行，躺在家里收租。
小镇错题本 1：哎呀，孩子的数学落下了。咬咬牙找任课老师补补课吧。下一次考试比较简单，孩子多考了五分。这老师讲得真好！补课效果立竿见影！
小镇错题本 2：哎呀，孩子的数学落下了。脑子不行就别读了，进电子厂。
小镇错题本 3：哎呀，孩子的数学落下了。脑子不行就别读了，送外卖。
小镇错题本 4：哎呀，孩子的数学落下了。脑子不行就别读了，送快递。
小镇错题本 5：哎呀，孩子的数学落下了。高中还是得读完，考了二本，高数挂了。
小镇错题本 6：哎呀，孩子的数学落下了。高中还是得读完，考了二本，低分飘过，但是孩子比较上进，打算通过考研改变命运。于是，ta打开百度，搜索“什么专业不考数学”。

3. 源于应试的自卑

The Pygmalion effect, or Rosenthal effect, is a psychological phenomenon in which high expectations lead to improved performance in a given area and low expectations lead to worse. The effect is named for the Greek myth of Pygmalion, the sculptor who fell so much in love with the perfectly beautiful statue he created that the statue came to life. The psychologists Robert Rosenthal and Lenore Jacobson, in their book Pygmalion in the Classroom, borrowed something of the myth by advancing the idea that teachers' expectations of their students affect the students' performance, a view that has been called into question as a result of later research findings.

Rosenthal and Jacobson held that high expectations lead to better performance and low expectations lead to worse, both effects leading to self-fulfilling prophecy. According to the Pygmalion effect, the targets of the expectations internalize their positive labels, and those with positive labels succeed accordingly; a similar process works in the opposite direction in the case of low expectations. The idea behind the Pygmalion effect is that increasing the leader's expectation of the follower's performance will result in better follower performance. Within sociology, the effect is often cited with regard to education and social class.

——Wikipedia/Pygmalion effect, accessed: 2023-04-02.

数学差，不是先天智商的锅，是教育的锅、是贫富差距的锅。我本来打算把本小节写得很长很长，因为应试教育所刻下的思想钢印太深。你们可以仔细回想一下，老师、父母和社会对自己和别人家的孩子到底多双标。普通人做题做不过别人，也许和智商无关。我从小到大，仅仅有过一个自闭症同学。除他之外，我前前后后所遇到的所有人的智商都差不多。但是，我小初高的同学的际遇千差万别。应试教育从始至终无情地筛选幸运儿，一路掐尖，将所谓的天才呈现在大众的眼前罢了。我把本小节写得很短很短，因为我无法清除你们的自卑，也没有其ta人可以清除你们的自卑。但是，有且只有一个人可以洗净所有的应试阴影，使你重获新生，那个人就是你自己。当你愿意战战兢兢地触碰另一种人生，基于数学的定义、推理以及万法归宗的抽象，质疑平庸、平凡和伟大之间是否存在天然的界限，失败者的思想钢印才可能松动、乃至脱落。

0x04 数学的“前半生”

1. 小学数学

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数学就在我身边
- 知识点：数字。
- 后续知识点：数学和生活；数学与自然科学的关系，即应用题和建立数学模型；等等。
- 数学思想：抽象与实例；等等。
分类比较
- 知识点：分类、大于、小于、等于。
- 后续知识点：分类讨论、集合、样本空间、样本点、等式、不等式、虚数不能比较大小。假如成功是虚数，那么人与人之间的成功是否存在可比性？
- 数学思想：不重不漏。这四个字看似不起眼，那么“不重不漏地对人进行分类”呢？假如定义100个标签，存在多少种不重不漏的人？你是否可以运用独有的标签集，活出自己专属的人生？
认识10以内的数
- 知识点：0-10；基数和序数的铺垫；加减法的铺垫。
- 后续知识点：代数；解析几何。
- 数学思想：古今数学思想（一）。

从一个简单的例子说起：“我爱你”。

主语：我
谓语：爱
宾语：你

接着，把称呼改一下：

操作数 1：我
运算符：爱
操作数 2：你

操作数所构成的集合叫做数域；操作符所构成的集合叫做运算；代数是一门研究数域和运算的学科。

小学代数：

数域：正整数、负整数、分数。
运算：加减乘除。

整个小学代数，只是在数域上进行运算。

我们需要引入第2个概念：几何。

小学数学 = 小学代数 + 小学几何

类似地，小学几何：

线面体
- 线：线段、射线、直线（还没有抽象化）。
- 面：平面、曲面、四边形、三角形、圆。
- 体：正方体、长方体、球、圆柱、圆锥。
位置关系：上下左右。

未来，在你刷短视频的时候，我这么给自己的小孩补课，或者教京沪的小学生，你怎么办？继续传承“看看别人家的孩子”、“唉，学习需要天赋”的刻板印象吗？只要受到了优质的教育，每个人都是天才。

2. 初中数学

初中代数：

扩充数域：无理数。
扩充运算：乘方、开方。

初中几何：

扩充点线面体：抛物线、双曲线、不规则图形。
扩充位置关系：全等、相似、垂直、平行、相切。

方程是含有未知数的等式。这种定义在理解方程之前没什么用。举例：

$a \times b = c$

它包含了二年级的乘法口诀表。引入所谓的未知数，把具体的数字抽象为字母，将无数个等式合并为统一的等式。

建立平面直角坐标系，这是解析几何的开端。严谨一点，解析几何的开端可能是数轴。

解析几何：通过代数表示几何，进而通过代数的方法解决几何的问题。

初中数学 = 初中代数 $\cup$ 初中几何

我把 $+$ 改成了 $\cup$ ，不妨思考：

初中代数 = 有初中几何的初中代数 + 无初中几何的初中代数
初中几何 = 有初中代数的初中几何 + 无初中代数的初中几何

若初中代数 + 初中几何，“有初中几何的初中代数”和“有初中代数的初中几何”岂不是重复了吗？因为 $+$ 这个运算有缺陷。好的，欢迎来到高中数学。

3. 高中数学

高考数学第1道选择题是什么？集合或虚数。集合讲了什么？我也忘记了。但是，集合至少讲了：集合、空集、元素、属于、包含、真包含、交并补。给它们换一个马甲，估计你比较熟悉：

${a, b, c}, ϕ, \in, \subseteq, \cap, \cup$

高中代数：

扩充数域：虚数。
扩充运算：交并补、求导。

高中几何：

扩充点线面体：抛物线、椭圆、双曲线。
扩充位置关系：以立体（三维）为基础的平行、垂直、相切。

高中解析几何：

平面直角坐标系
立体直角坐标系

函数：自变量和应变量的关系。从本质来看，函数也是方程，但它是一种“会动”的方程。你想想，给定若干个函数值，是不是得到了许多的方程（和 $a \times b = c$ 归纳了乘法口诀表一样）？在定义函数之前，讲的是映射。映射是集合与集合之间的关系。函数的三要素是什么？定义域、对应关系、值域。定义域和值域是集合；对应关系是函数的关键，也是函数最妖艳的部分。可以这么理解：集合是数域的扩充；映射是运算的扩充；函数集数域和运算于一身，成为了数域的一员。对数域的新成员“函数”而言，微积分将又是定义在其上的运算（本科的高等数学之一）。

既然数学以绝对正确性的数学之美跻身艺术之列、而且作为底层框架横贯所有科学，那么这个世界还存在数学管不到的地方吗？曾经有。

1654年，Antoine Gombaud向法国数学家Blaise Pascal提出一个分赌本问题：甲、乙赌技相同，各自下赌注50法郎，无平局。他们约定，谁先赢3局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了2局、乙赢了1局的时候，赌局因故中止。问：如何分配100法郎足够公平？

这个例子催生了“概率论与数理统计”（本科的高等数学之一）。你可以将此前的数学视作确定性数学，将和概率相关的数学视作不确定性数学。此处暂不赘述。

0x05 延伸阅读

1. 和解：求而不得的焦虑

https://github.com/Anticorianderist/blog/blob/main/1-src/2-the-negation-of-negation/2-dedust/reconciliation-the-anxiety-of-failure.md

大天才： $1.5 \times 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 5.0625$
小天才： $1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 = 2.0736$
做题家： $1.0 \times 1.0 \times 1.0 \times 1.0 = 1.0000$
错题本： $0.8 \times 0.6 \times 0.1 \times 0.0 \approx 0.0000$

不妨将上述4个式子的4个因数看作小学数学、初中数学、高中数学、本科数学，碍于数学的“连续性”，不改正小学数学的 $0.8$ ，就无法改正初中数学的 $0.6$ ；不改正初中数学的 $0.6$ ，就无法改正高中数学的 $0.1$ ；不改正高中数学的 $0.1$ ，就无法改正本科数学的 $0.0$ 。但是，在高考之后的三个月里，你甚至可以重新学一遍小初高的初等数学。不需要周考、不需要月考、理解而非计算、纠正复杂度低的过去而非死磕复杂度高的现在，人生也可以被改写。

2. 下一步

数学学到什么程度可以进行下一部分的学习了？可以参考知乎/包遵信的回答。

新生：从伪教育到自我教育